RでマンホイットニーのU検定をやろう

マンホイットニーのU検定（またはウィルコクソンの順位和検定とも呼ばれます）は、非パラメトリック統計手法の一つで、二つの独立したグループ間で中央値が異なるかどうかを検定する方法です。この検定は、データが正規分布をしていない場合や、サンプルサイズが小さい場合に特に有効です。

検定の基本ステップ

1.データの準備: 二つの独立したサンプル（グループAとB）を用意します。

2.データのランク付け: 両グループのデータを合わせ、それらに対してランク（順位）を付けます。最も低いデータには1、次に低いデータには2というように順にランクをつけます。同位のデータがある場合（例えば、二つのデータポイントが同じ値を持つ場合）、それらの平均順位を割り当てます。

3.ランクの合計の計算: それぞれのグループのデータポイントのランクの合計を計算します。

4.検定統計量U値の計算: ランクの合計からU値（名前にちなんで記号Tの代わりにUを使います）を計算します。U値は、二つのグループ間でランクがどのように分布しているかを示します。計算式は次のようになります。U $1 $ とU $2 $ $$ のうち小さいほうの値をUとします。

ここで、 $n 1 $ と $n 2 $ はそれぞれのグループのサイズ、 $R 1 とR$ ₂ は各グループのランクの合計です。

注）データ数が大きい場合は検定統計量（T)が

の正規分布に従うことを利用し、

を使って、ｚ検定を行います。

また、同順位がある場合には、V(U)は次式で計算します。

ただし、mは同順位の数、tは同順位の個数（t=1,2,・・・,m)になります。
例えば、順位が2となるもの（2位）が3個と順位が５となるもの（5位）が4個ある場合ではm=2、t₁=3、t₂=4となります。

5.統計的意義の判断: 計算されたU値を用いて、統計的に有意な差があるかを判断します。これには、U値の分布表や、大きなサンプルサイズの場合は正規分布の近似を使用します。

6.比較

U値≦棄却限界値の場合、帰無仮説を棄却する
U値＞棄却限界値の場合、帰無仮説を棄却しない
注）U検定では、値の小さい方を検定統計量としており、検定表も検定統計量が0，1，2・・・に対して作られているので、帰無仮説はｚ分布やｔ分布などとは逆に、検定統計量≦棄却限界値の場合に棄却されます。

注意点

マンホイットニーのU検定は中央値の違いを検定しますが、平均値の違いを検定するものではありません。
データに多くの同位値がある場合、検定の精度が低下する可能性があります。
小さなサンプルサイズの場合、検定結果の解釈には慎重さが求められます。

この検定は、データの分布に柔軟で、特に非正規分布のデータに対して強力なツールとなります。そのため、医学、心理学、社会科学などの分野で広く用いられています。

例題を使った解説

新しい教育プログラムの効果の評価

仮定しましょう、ある教育研究者が新しい数学教育プログラムの効果を評価したいと考えています。この研究者は、従来のプログラムを使用している学校（グループA）と、新しいプログラムを採用している学校（グループB）の学生の数学テストスコアを比較することにしました。

データ収集

グループA（従来のプログラム）: 10人の学生のスコアを収集します。例えば、スコアは次のようになります: [70, 75, 80, 65, 90, 85, 78, 82, 88, 76]
グループB（新しいプログラム）: こちらも10人の学生のスコアを収集します。例えば、スコアは次のようになります: [85, 80, 90, 88, 95, 92, 85, 90, 87, 91]

帰無仮説と対立仮説

帰無仮説：両グループの母代表値に差は無い

対立仮説：両グループの母代表値に差がある

データのランク付け

両グループのスコアを合わせて、全体のランクをつけます。例えば、最も低いスコア（65）には1のランク、次に低いスコア（70）には2のランクをつけ、以降同様に進めます。同位のスコアがある場合、それらの平均ランクを割り当てます。

U値の計算

それぞれのグループのランクの合計を計算し、U値を求めます。U値は、あるグループのランクの合計から、そのグループのサイズに関連する量を差し引いて求められます。

計算していくとU=14になるはずです。

統計的意義の判断

計算されたU値を基に、統計的に有意な差があるかどうかを判断します。通常、この判断はU値の分布表または正規分布の近似を用いて行われます。

先ほど表を掲載しましたマンホイットニーのＵ検定の検定表によると、n₁=10、n₂=10の時の限界棄却値は23になります。U＝14＜23なので、帰無仮説は棄却され対立仮説が採用されます。よって、新しい教育プログラムが従来のプログラムと比べて学生の数学スコアに有意な差をもたらすという結論になります。

マンホイットニーのU検定は、特にサンプルサイズが小さく、データが正規分布に従わない場合に有効な手段となります。

例題をR言語を使って解いてみましょう

スクリプトは以下のようになります。

# データの定義
group_a_scores <- c(70, 75, 80, 65, 90, 85, 78, 82, 88, 76)
group_b_scores <- c(85, 80, 90, 88, 95, 92, 85, 90, 87, 91)

# マンホイットニーのU検定の実行（正規近似を使用）
test_result <- wilcox.test(group_a_scores, group_b_scores, exact = FALSE)

# 結果の表示
print(test_result)

スクリプトを実行すると、次のとおりの結果が表示されます。

同じ値のデータ（タイ）がある場合、そのまま計算してしまうと「タイがあるため、正確なp値を計算することができません」という警告が出ます。

RがマンホイットニーのU検定を行った際に、データセット内に多数のタイ（同位値、つまり同じ値を持つデータポイント）が存在する場合に表示されます。

これは、多数のタイが存在すると、標準的なU検定の方法で正確なp値を計算するのが難しいことを意味します。

この問題を解決するために、Rのwilcox.test関数にはexactパラメータがあり、これをFALSEに設定することで、正規近似を使用してp値を計算することができます。ただし、この方法はサンプルサイズが大きい場合に適しています。

計算結果をみると、
W＝１４となっていますが、U＝１４と読み替えてください。
p値は 0.007067 です。p値は帰無仮説（この場合、二つのグループ間で中央値に差がないという仮説）が真である場合に、得られた結果（またはそれ以上に極端な結果）が観測される確率を示します。

一般的に、p値が0.05以下であれば、帰無仮説を棄却し、二つのグループ間に統計的に有意な差があると結論づけます。この場合、p値は0.05よりも小さいため、帰無仮説を棄却します。さきほど、手計算した結果と同じですね。

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